Thursday, July 28, 2011

15. విశ్వస్వరూపం: ప్రామాణిక నమూనా

విశ్వస్వరూపం (గత సంచిక తరువాయి)


15. ప్రామాణిక నమూనా


వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

విశ్వస్వరూపాన్ని, విశ్వం యొక్క చరిత్రనీ అర్ధం చేసుకోవటానికి కావలసిన మూలాధారాలు ఎక్కడో నక్షత్రాలలోను, క్షీరసాగరాలలోను వెతకక్కరలేదు. ఆ రహశ్యాలు చాలమట్టుకు అణుగర్భంలోనే దాగి ఉన్నాయి. ఆ అణుగర్భాన్ని ఛేదించి చూడటానికి ఈ భూలోకం వదలి ఎక్కడికో వెళ్లనక్కరలేదు.

అణువులో ఒక కేంద్రకము (nucleus), దాని చుట్టూ తిరుగుతూ ఎలక్ట్రానులు ఉంటాయని మనలో చాల మంది ఉన్నత పాఠశాలలోనే నేర్చుకున్నాం. సూర్యుడి చుట్టూ గ్రహాలు తిరిగే మాదిరి కేంద్రకం చుట్టూ ఎలక్ట్రానులు తిగుతూన్నట్టు ఊహించుకోమని ఒక నమూనా చెబుతుంది. (ఇంతకంటె మంచి నమూనాలు మనకి ఉన్నాయి, కాని ప్రస్తుతం వాటి అవసరం ఇక్కడ లేదు.) ఈ అణుగర్భంలో ప్రోటానులు (protons), నూట్రానులు (neutrons) అనే రెండు రకాల రేణువులు (particles) ఉన్నాయని కూడ మనలో కొంతమందికి తెలుసు. ఎలక్ట్రానులకి రుణ విద్యుదావేశము (negative electrical charge), ప్రోటానులకి ధన విద్యుదావేశము (positive electrical charge) ఉన్నాయనిన్నీ కూడ మనకి తెలుసు. నూట్రానులకి ఏ విధమైన విద్యుదావేశమూ లేదని కూడ మనకి తెలుసు. ఇంతవరకు ఉన్నత పాఠశాలలో కాని, కనీసం కళాశాలలో మొదటి సంవత్సరం కాని చెబుతారు.

ప్రయోగశాలలో అణువుని “చితక్కొట్టి” చూస్తే అప్పుడప్పుడు ఈ మూడే కాకుండా ఇంకా అనేక రకాల రేణువులు – ఎప్పుడూ కాకపోయినా, అప్పుడప్పుడు - కనిపిస్తూ ఉంటాయి. వీటి జీవిత కాలం సర్వసాధారణంగా బుద్బుదప్రాయం. అంటే నీటి బుడగలా తక్కువ కాలం కనిపించి జీవితం చాలించే రకాలన్నమాట. ఈ రేణువులు జంతుప్రదర్శనశాలలో జంతువులులా చాల రకాలు ఉన్నాయి. వాటి లక్షణాలు వేర్వేరు. వాటి ఆయుర్దాయం విభిన్నం. వీటన్నిటినీ కూడగట్టి ప్రస్తుతానికి “ప్రాథమిక రేణువులు” (elementary particles) అని పిలుద్దాం. మొదట్లో ఎవ్వరికీ ఈ ప్రాథమిక రేణువుల వరస అర్ధం అయి చావ లేదు. పరిస్థితి 1970 దశకం వరకు చాల అస్తవ్యస్తంగానూ, గందరగోళంగానూ ఉండేది. ఎంతోమంది శాస్త్రవేత్తలు ప్రయత్నం చేసి 1970 దశకంలో “ప్రాథమిక రేణువుల ప్రామాణిక నమూనా” (The Standard Model of Particle Physics) అనే ఒక సిద్ధాంతాన్ని లేవదీశారు. దాని గురించి ఇక్కడ చెబుతాను. “ప్రాథమిక రేణువుల ప్రామాణిక నమూనా” అన్న పదబంధం మరీ పొడుగ్గా ఉంది కనుక దీనిని టూకీగా ప్రామాణిక నమూనా (Standard Model) అందాం.

ఈ సందర్భంలో భౌతిక శాస్త్రజ్ఞులు విరివిగా వాడే “ఇంటరేక్షన్” (interaction) అనే ఇంగ్లీషు మాట యొక్క అర్థాన్ని కొంచెం అర్థం చేసుకుందాం. ఈ మాటని మనం తెలుగులో “సంకర్షణ” అందాం. ఈ మాటని చాల విశాల భావంతో వాడదాం. ఈ సందర్భంలో సంకర్షణ అంటే ప్రాథమిక రేణువులు చేసే ఏ పని అయినా, అవి పాల్గొనే ఏ కార్యం అయినా సంకర్షణే. ఉదాహరణకి, అల్పాయుర్దాయం ఉన్న ఒక రేణువు విచ్ఛిన్నం అయిపోయి రెండు, మూడు చిన్న చిన్న రేణువులుగా మారిపోవచ్చు. లేకపోతే, రెండు రేణువులు గుద్దుకొని, తదుపరి చెదిరిపోయి వేర్వేరు దారులలో పోవచ్చు. అలా కాకపోతే గుద్దుకోవటమనే సంకర్షణ ఫలితంగా కొత్త రేణువు పుట్టొచ్చు. లేదా, ఒక పదార్ధపు రేణువు (matter particle), ప్రతిపదార్ధపు రేణువు (antimatter particle) ఢీకొన్నప్పుడు ఆ రెండు రేణువులలో ఉన్న గరిమ (mass) ఏష్యం అయిపోయి ఆ స్థానంలో శక్తి పుట్టొచ్చు (ప్రత్యేక సాపేక్ష సిద్ధాంతంలోని E = mc^2 ప్రకారం). ఈ రకం ప్రక్రియలన్నిటినీ లుమ్మజుట్టి “సంకర్షణ” అనే పదం వాడతారు.

సంకర్షణలు నాలుగు రకాలు. అన్నిటికంటె బలహీనమైనది గురుత్వాకర్షక సంకర్షణ. అంతకంటె మరికొంచెం బలమైనది నిస్త్రాణిక సంకర్షణ. అంతకంటె బలవంతమైనది విద్యుదయస్కాంత సంకర్షణ. అన్నిటి కంటె బలమైనది త్రాణిక సంకర్షణ. ఈ సంకర్షణలని గురించి గత అధ్యాయాలలో ఒకసారి చదువుకున్నాం; అక్కడ ప్రాథమిక బలాలు అన్నాం, ఇక్కడ సంకర్షణ అనే కొత్త పదం వాడేం. సంకర్షణ అనేది రేణువుల మధ్య జరిగే ప్రక్రియ కదా ఇక్కడ బలాలని ఉద్దేశించి ఎందుకు వాడుతున్నామా మీలో సూక్ష్మగ్రాహులకి అనుమానం రావచ్చు. నిజమే ఇక్కడ కూడ ఈ బలాలని ప్రసారం చెయ్యటానికి “కల్ల రేణువులు” (virtual particles) అనే ఒక రకం రేణువుల అవసరం వస్తుంది. వాటి గురించి తరువాత చెబుతాను, ప్రస్తుతానికి ముందుకి కదులుదాం.

సా. శ. 1970 కి పూర్వం ఈ నాలుగు సంకర్షక బలాలలో మనకి పరిపూర్ణంగా అర్ధం అయినది విద్యుదయస్కాంత సంకర్షక బలం ఒక్కటే. సా. శ. 1864 లో మేక్స్వెల్, సంప్రదాయిక భౌతిక శాస్త్రపు (classical physics) పరిధిలో ఈ విద్యుదయస్కాంత సంకర్షక బలం యొక్క తత్వాన్ని పరిపూర్ణంగా గణిత సమీకరణాల ద్వారా వర్ణించి చెప్పేడు. మేక్స్వెల్ సాధించిన ఘనకార్యం ఏమిటంటే విద్యుత్ తత్వమూ, అయస్కాంత తత్వమూ వేర్వేరు కాదు, రెండూ ఒకటే అంటూ వాటిని సంధానపరచేడు. సంధానపరచటం అంటే ఈ రెండు ప్రక్రియలని ఒకే సిద్ధాంతంలో ఇమిడ్చి వర్ణించటం. మేక్స్వెల్ రోజులనాటికి అయిన్స్టయిన్ 1905 లో ప్రతిపాదించిన సాధారణ సాపేక్ష సిద్ధాంతం తెలియదు. అయినప్పటికీ మేక్స్వెల్ సమీకరణాలు నూటికి నూరు శాతం అయిన్స్టయిన్ సిద్ధాంతానికి బద్ధమై ఉండటం గమనించదగ్గ విషయం. ఆ మాటకొస్తే మేక్స్వెల్ సమీకరణాలే సాధారణ సాపేక్ష సిద్ధాంతానికి ప్రేరణ కారణాలన్నా అది అతిశయోక్తి కానేరదు.

ఇది ఇలా ఉండగా ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు రెండవ దశకంలో పుట్టుకొచ్చిన గుళిక సిద్ధాంతం (Quantum theory) ప్రభంజనంలా చెలరేగటంతో భౌతిక శాస్త్రాన్ని కూకటి వేళ్లతో సవరించవలసి వచ్చింది. ఈ సవరణకి మేక్స్వెల్ సమీకరణాలు కూడ తలవొగ్గ వలసి వచ్చింది. ఈ సవరణకి కూడా ఆద్యుడు ఒక విధంగా అయిన్స్టయినే!. కాంతిని మనం తరంగాలులా ఊహించుకున్నా కాంతి లోని శక్తి చిన్న మాత్రల (గుళికల) రూపంలో మనకి చేరుతున్నాదని ఆయన 1904 లో అన్నారు. కాంతి అయిన్స్టయిన్ చెప్పినట్లు గుళికలలా ఉంటుందా లేక మేక్స్వెల్ సమీకరణాలు చెప్పినట్లు తరంగాల మాదిరి ఉంటుందా అనే మీమాంశ ఒక దశాబ్దం పాటు అల్లరి పెట్టింది. అప్పుడు 1920 లలో డిబ్రోగ్లీ (de Broglie), ష్రోడింగర్ (Schrodinger), హైజెన్బర్గ్ (Heisenberg) ప్రభృతులు గుళిక సిద్ధాంత సౌధాన్ని సర్వాంగ సుందరంగా లేవనెత్తేరు. ఈ సిద్ధాంతం చెప్పే మౌలికాంశం లోని కీలకం చెప్పటం తేలికే. దాని పర్యవసానాలు అర్ధం అవటానికి పరిశ్రమ చెయ్యాలి.

1. విద్యుదయస్కాంత తత్వాన్ని గుళిక సిద్ధాంతంతో సంధానపరచటం

గుళిక సిద్ధాంతం ప్రకారం ఏ ప్రయోగమైనా చేసినప్పుడు దాని ఫలితం ఇదమిత్థంగా తేల్చి చెప్పలేము. ఒక ప్రయోగానికి ఎన్నో ప్రత్యామ్నాయ ఫలితాలు ఉండొచ్చు. కొన్ని ప్రత్యామ్నాయాలకి సావకాశం ఎక్కువ, కొన్నిటికికి తక్కువ. పరిభాషలో చెప్పాలంటే, “ఒక ప్రయోగ ఫలితం సంభావ్యత (probability) రూపంలో చెప్పగలం కాని ఇదమిత్థంగా చెప్పలేము.” మరొక విధంగా చెప్పాలంటే, “ఏకాకిగా ఉన్న ఒకేఒక ఎలక్ట్రాను ప్రవర్తన ఇదమిత్థంగా వర్ణించి చెప్పలేము, కాని ఎన్నో ఎలక్ట్రానుల సగటు ప్రవర్తన చెప్పగలం.” కనుక “మేక్స్వెల్ వర్ణించిన సమీకరణాలు ఒక ఫోటాను (photon) ప్రవర్తనని చెప్పటం లేదు; ఎన్నో కోట్ల ఫోటానుల ఉమ్మడి ప్రవర్తన తరంగాల రూపంలో మనకి కనిపిస్తున్నాది” అని మనం భాష్యం చెప్పుకోవాలని గుళిక సిద్ధాంతం ఆదేశిస్తోంది. ఇలా గుళిక సిద్ధాంతానికి, మేక్స్వెల్ సమీకరణాలకీ మధ్య - ఒక రకంగా చెప్పుకోవాలంటే – సంయోగం జరిగిపోయింది. దీన్ని మనం “గుళికీకరించబడ్డ విద్యుదయస్కాంత సిద్ధాంతం” (quantization of electromagnetic theory) అందాం.

పునరుక్తి దోషం అనుకోకుండా గుళిక సిద్ధాంతంలోని మరొక మౌలికాంశాన్ని చెబుతాను. కాంతి ని తరంగాలుగా కాని రేణువులుగా కాని ఊహించుకున్నట్లే, పదార్ధాన్ని రేణువులుగా కాని, తరంగాలుగా కాని సమయానుకూలంగా ఊహించుకోవచ్చు.

2. విద్యుదయస్కాంత తత్వాన్ని సాపేక్ష సిద్ధాంతంతో సంధానపరచటం

ఎలక్ట్రానులు, ఫోటానులు వగైరా రేణువులు చాల సందర్భాలలో దరిదాపు కాంతి వేగంతో ప్రయాణం చేస్తూ ఉంటాయి. కాంతి వేగం మన సమీకరణాలలో జొప్పించాలంటే సాపేక్ష సిద్ధాంతం తప్పని సరి. కనుక గుళికీకరించబడ్డ విద్యుదయస్కాంత సిద్ధాంతానికి సాపేక్ష సిద్ధాంతాన్ని కూడ జోడించవలసి వచ్చింది. ఇలా జోడించగా 1930 లో వచ్చిన సిద్ధాంతం పేరు గుళికీకరించబడ్డ విద్యుత్ గమన శాస్త్రం లేదా క్వాంటం ఎలక్ట్రో డైనమిక్స్ (Quantum Electrodynamics) లేదా, ముద్దుగా క్యు. ఇ. డి (QED). దీనినే సాపేక్ష్వ గుళిక క్షేత్ర సిద్ధాంతం (relativistic quantum field theory) అని కూడ అంటారు.

ఈ కొత్త సిద్ధాంతం మొదట్లో గణిత సంబంధమైన బాలారిష్టాలు చాలా ఎదుర్కోవలసి వచ్చింది. ఈ బాలారిష్టాలు ఏమిటో అర్ధం కాకపోయినా పరవా లేదు కాని ఈ ఇబ్బందులన్నిటిని ఎదుర్కొని ఒక గట్టు ఎక్కేసరికి 1940 వచ్చేసింది. “ప్రతిప్రమాణాంకితం”(renormalization) అనే పద్ధతితో గుళికీకరించబడ్డ విద్యుత్ గమనశాస్త్రానికి (Quantum Electrodynamics) గట్టి పునాదులు వేసిన ఘటికులలో రిచ్చర్డ్ ఫైన్మన్ (Richard Feynman) ఒకడు. అంటే గుళిక విద్యుత్ గమన శాస్త్రం (Quantum Electrodynamics) అనేది విద్యుదయస్కాంత తత్వాన్ని సాపేక్ష సిద్దాంతంతోటీ, గుళిక సిద్ధాంతోటీ సమన్వయ పరచటం. ఇప్పటికీ ఈ సిద్ధాంతం నిరాపేక్షణీయంగా, సర్వాంగసుందరంగా వెలుగుతోంది.

ఈ హడావిడి అంతా ఒక్క విద్యుదయస్కాంత తత్వాన్ని ఆధునికీకరించటానికి మాత్రమే పరిమితం. ఇటువంటి ప్రయత్నమే మిగిలిన మూడు సంకర్షణలతో – అంటే, త్రాణిక, నిస్త్రాణిక, గురుత్వ సంకర్షణలతో - కూడ చెయ్య గలిగితే సమస్త సిద్ధాంతం దొరికినట్లే! కాని క్యు. ఇ. డి. ( QED) ఎడల రామబాణంలా పనిచేసిన ప్రతిప్రమాణాంకితం (renormalization) అనే పద్ధతి క్యు. ఇ. డి. లో గురుత్వాకర్షణని ఇరికించటానికి ప్రయత్నం చేసినప్పుడు పని చెయ్యలేదు; మళ్లా పీడ కలలా వైపరీత్యాలు ప్రభవించటం మొదలెట్టేయి. ఇప్పటికీ గురుత్వాకర్షణని క్యు. ఇ. డి. లో ఇమడ్చలేకపోయారు.

3. నిస్త్రాణిక సంకర్షణ పరిస్థితి

ఇది ఇలా ఉండగా నిస్త్రాణిక సంకర్షణ పరిస్థితి ఎలా ఉందో చూద్దాం. దీని మీద లేవదీసిన సిద్ధాంతాల కథ కూడ QED కథతో సమాంతరంగా నడుస్తుంది. ప్రయోగాలు చెప్పేది ఒకటి, వాటిని గణిత బద్ధం చేసినప్పుడు వైపరీత్యాలని ఎదుర్కోవటం మరొకటి. మొత్తం మీద 1960 దశకంలో ఇదే పద్ధతి ఉపయోగించి విద్యుదయస్కాంత బలం, లఘు సంకర్షక బలం నిజానికి ఒకటే అని స్టీవెన్ వైన్బర్గ్, అబ్దుస్ సలాం విడివిడిగా రుజువు చేసేరు. విద్యుత్ బలం, అయస్కాంత బలం కలిసి విద్యుదయస్కాంత బలం అయినట్లే, విద్యుదయస్కాంత బలాన్నీ, లఘు సంకర్షక బలాన్నీ అనుసంధించగా వచ్చిన దానిని విద్యుత్ లఘు బలం (elctroweak force) అన్నారు వారు.

అనుసంధానం అంటే ఏమిటి? కొన్ని పరిస్థితులలో విద్యుదయస్కాంత బలానికీ నిస్త్రాణిక బలానికి మధయ తేడా లేకపోవటం. పదార్ధాల ఉష్ణోగ్రత 10E15 దాటితే ఈ రెండు బలాల మధ్య తేడా కనిపించదు. ఇంత ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత మహా విస్పోటనం జరిగిన కొత్తలో ఉండేది. కనుక సృష్ట్యాదిలో విద్యుదయస్కాంత బలం, నిస్త్రాణిక బలం ఒకేలా ఉండేవి. ఆది అనుసంధానం అంటే. దీనికి మరి కొంచెం వివరణ తరువాయి అధ్యాయంలో చెబుతాను.

4. విద్యుదయస్కాంత తత్వాన్ని బృహత్బలంతో సంధానపరచటం

ఇదే పద్ధతిలో విద్యుదయస్కాంత బలాన్నీ బృహత్ బలంతో అనుసంధించగా వచ్చిన బలానికి, న్యాయంగా విద్యుత్ బృహత్ బలం (elctrostrong force) అని పేరు పెట్టాలి; కాని అలా జరగ లేదు – దానికి అర్ధం పర్ధం లేకుండా క్వాంటం క్రోమో డైనమిక్స్ (Quantum Chromo Dynamics or QCD) అని పేరు పెట్టేరు. ఈ దిశలో ఆఖరి అంచెగా విద్యుదయస్కాంత బలాన్నీ, లఘు బలాన్నీ, బృహత్ బలాన్ని అనుసంధించి దానికి ప్రామాణిక నమూనా (Standard Model) అని పేరుపెట్టేరు. ఈ ప్రామాణిక నమూనా లో చిన్న చిన్న లొసుగులు ఉన్నా చాల ఆదరణ పొందింది. ఈ నమూనాలో ఎలక్ట్రానులు, మ్యువానులు (వీటినే పూర్వం మ్యు-మీసానులు అనేవారు), నూట్రినోలు, క్వార్కులు, మొదలైనవి పదార్ధం (matter) కి ముడి సరుకులు. ఈ పదార్ధ రేణువుల మధ్య జరిగే సంకర్షణలు విద్యుదయస్కాంత, లఘు, బృహత్ బలాల మధ్యవర్తిత్వంలో జరుగుతాయి. ఇక్కడ ముఖ్యంగా గుర్తు పెట్టుకోవలసిన విషయం ఏమిటంటే ఈ ప్రామాణిక నమూనా లో గురుత్వాకర్షణ కి పాత్ర లేదు.

5. ప్రామాణిక నమూనాలో ప్రధానాంశాలు

ప్రామాణిక నమూనాలో ఉన్న ప్రధానాంశాలు ఏమిటో ముందు చెబుతాను. ప్రామాణిక నమూనా ప్రకారం ప్రకృతిలో ఉన్న ప్రతి వస్తువు కొన్ని ప్రాథమికమైన “కట్టడపు ఇటుకలు” (building blocks) తో నిర్మించబడింది. ఈ కట్టడపు ఇటుకల పేర్లు: క్వార్కులు (quarks), లెప్టానులు (leptons), బల వాహకాలు (force carriers). క్వార్కులు మూడు “వర్ణాలు” (colors) తో ఉంటాయి. ఈ మూడు వర్ణాలకి up, charm, down అని పేర్లు పెట్టేరు. ఇక్కడ ప్రస్తావిస్తూన్న పేర్లకి వేటికీ భౌతికమైన అర్ధాలు లేవు. ఏ పేరు పెట్టాలో తెలియక వారికి అప్పటికి తోచిన పేర్లు పెట్టేరు. ఇదే విధంగా లెప్టానులు మూడు “జాతులు” . ఈ మూడు జాతులకి electron, muon, tau అని పేర్లు పెట్టేరు. ఈ ఎలక్ట్రాను మనకి చిరపరిచితమయిన ఎలక్ట్రానే. ఇంతవరకు చెప్పిన క్వార్కులు, లెప్టానులు సాధారణ పదార్ధపు రేణువులు (ordinary matter particles). అన్నిటికన్నా చిన్నవి అని మనం ఇన్నాళ్లూ అనుకుంటూన్న అణువులు కూడ ఇంకా చిన్నవయిన ఈ ప్రాథమిక రేణువులతో చెయ్యబడ్డాయని ఈ కొత్త సిద్ధాంతం చెబుతోంది.

ఈ సాధారణ పదార్ధపు రేణువులతో సరితూగుతూ ప్రతిపదార్ధపు రేణువులు (antimatter particles or antiparticles) కూడ ఉన్నాయి, మన ప్రామాణిక నమూనాలో. వాటి పేర్లు కూడా చెప్పెస్తాను. ప్రతిక్వార్కులు (antiquarks) కూడ మూడు “వర్ణాలు” (colors) తో ఉంటాయి. ఈ మూడు వర్ణాలకి down, strange, bottom అని పేర్లు పెట్టేరు. ఈ పేర్లకి కూడ అర్ధాలు ఏమీ లేవు. ఇదే విధంగా ప్రతిపదార్ధపు లెప్టానులు మూడు “జాతులు” . ఈ మూడు జాతులకి electron-neutrino, muon-neutrino, tau-neutrino అని పేర్లు పెట్టేరు. ఈ పేరాలో చెప్పినవి అన్నీ ప్రతిపదార్ధపు రేణువులు (anti particles).

ఇంక చెప్పుకోవలసినవి బల వాహకాలు (force carriers). నిస్త్రాణిక సంకర్షణకి కావలసిన బల వాహకాలు మూడు. వాటి పేర్లు: W+, W-, Z0. వీటికి ఈ పేర్లే ఎందుకు పెట్టేరో తెలుసుకోటానికి ప్రయత్నించటం వ్యర్ధం. విద్యుదయస్కాంత సంకర్షణకి కావలసిన బల వాహకం ఒక్కటే. దాని పేరు: ఫోటాను (photon). త్రాణిక సంకర్షణకి కావలసిన బల వాహకాలు ఎనిమిది. వాటన్నిటిని కలగలిపి గ్లువానులు (gluons) అంటారు.

ఇంకా వివరాలు చెప్పి విసిగించటం ఇష్టం లేదు కాని పైన చెప్పిన వివరణలో చిన్న చిన్న మినహాయింపులు ఉన్నాయి. భౌతిక శాస్త్రంలో ప్రావీణ్యత ఉన్నవారు క్షమించగలరు.

Monday, July 11, 2011

14. సమస్త సిద్ధాంతం అవసరమా?

విశ్వస్వరూపం (గత సంచిక తరువాయి)


14. సమస్త సిద్ధాంతం అవసరమా?


వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు


ఈ విశ్వం యొక్క పుట్టుక, జీవన సరళి, గిట్టుక, మొదలైన ప్రగాఢమైన విషయాలు చర్చించేముందు విజ్ఞాన శాస్త్రంలో సిద్ధాంతాల పాత్ర అర్ధం చేసుకోవాలి. శాస్త్రీయ పరిభాషలో ‘సిద్ధాంతం’ అనేది ఒక నమూనా. నిజం అంతా మన అవగాహనలోకి రానప్పుడు, మనకి అర్ధమైన మేరకే కొన్ని నిబంధనలని పాటిస్తూ నమూనా నిర్మించుకుంటాం. ఈ నమూనాకి భౌతికమైన అస్తిత్వం లేదు; అది స్వకపోల కల్పితం. సిద్ధాంతాలనేవి కేవలం మన ఊహా ప్రపంచంలో కట్టుకున్న మేడలు. నమూనాలు, సిద్ధాంతాలు ఎన్నయినా నిర్మించుకోవచ్చు. వీటిల్లో కొన్ని నాసి రకం సిద్ధాంతాలు ఉంటాయి, కొన్ని మేలు రకం సిద్ధాంతాలు ఉంటాయి. శ్రేష్టమైన సిద్ధాంతాలకి కొన్ని మౌలికమైన లక్షణాలు ఉంటాయి. ఒకటి, సిద్ధాంతం తికమకలు లేకుండా, సరళంగా, అనవసరమైన స్థిరాంకాలు లేకుండా ఉండాలి. రెండు, మనం ప్రయోగాలలో గమనించే దృగ్విషయాలకి సిద్ధాంతాలు అనుగుణంగా ఉండాలి. అంటే, ప్రయోగానికే పై చెయ్యి. మూడు, ఒక సిద్ధాంతం భవిష్యత్తు గురించి తీర్మానం చేసినప్పుడు, ఆ తీర్మానం ప్రయోగం ద్వారా రుజువు చెయ్యటానికి అవకాశం ఉండాలి. అంటే సిద్ధాంత సౌధాలకి ప్రయోగాలు పునాదులుగా ఉండాలి.

ఉదాహరణకి, ఎంపిడోక్లీస్ సృష్టి అంతా భూమి, నీరు, గాలి, అగ్ని అనే నాలుగు భూతాలతో నిర్మించబడిందని లేవదీసిన ఒక సిద్ధాంతాన్ని గ్రీకు తత్వవేత్త అరిస్టాటిల్ పరిపూర్ణంగా నమ్మేడు. ఈ సిద్ధాంతంలో క్లిష్టత లేదు; సులభంగా అర్ధం అవుతుంది. కాని ఈ సిద్ధాంతం తీరుకీ, ప్రయోగాల తీరుకి మధ్య పొంతన కుదరలేదు. అంతే కాకుండా ఈ సిద్ధాంతం భవిష్యత్తు గురించి ఏ అంచనాలు వెయ్యలేకపోయింది. నూటన్ లేవదీసిన గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతం దీని కంటె మెరుగైనది. నూటన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం వస్తువులు ఒకదానిని మరొకటి ఆకర్షించుకుంటాయి. ఎలా? ఆ ఆకర్షణ బలం ఆయా వస్తువుల గరిమ మీద అనులోమ అనుపాతంలోనూ, ఆ వస్తువుల మధ్య ఉన్న దూరపు వర్గుకి విలోమ అనుపాతంలోనూ ఆకర్షించుకుంటాయి. ఈ విషయాన్ని గణిత సమీకరణంలా రాయటానికి ఒకే ఒక అనుపాత స్థిరాంకం వాడితే సరిపోతుంది. అంతే. ఈ సూత్రాన్ని పట్టుకుని సాగదీసి ఈ భూమి మీద చలన ధర్మాలని నిర్ణయించవచ్చు, ఆకాశంలో గ్రహ గమనాలని నిర్దేశించవచ్చు, గ్రహణాల పట్టువిడుపులు ఏయేవేళలలో జరుగుతాయో లెక్కకట్టి చూపవచ్చు, తోకచుక్కలు ఎప్పుడు కనబడతాయో జోశ్యం చెప్పవచ్చు. సిద్ధాంత పరంగా చెప్పినవన్నీ నిజమేనని ప్రయోగాల ద్వారా నిర్ధారించవచ్చు.

ఏ భౌతిక సిద్ధాంతమూ శాశ్వతం కాదు. సిద్ధాంతాలు ప్రతిపాదనలు మాత్రమే. ఆవి చెల్లినన్నాళ్లు చెల్లుతాయి. ఆ సిద్ధాంతానికి వ్యతిరేకంగా ప్రయోగ ఫలితం కనబడిననాడు ఆ సిద్ధాంతం వీగి పోతుంది. అంటే ఏమిటన్న మాట? ఒక సిద్ధాంతం నిజమని మనం ఎప్పుడూ రుజువు చెయ్యలేము, కాని ఆ సిద్ధాంతం తప్పని రుజువు చెయ్యగలం. కనుక నమూనాలకి, సిద్ధాంతాలకి కూడ పుట్టుక, జీవితం, గిట్టుక ఉంటాయి. ఎంపిడోక్లిస్ లేవదీసిన చతుర్భూత సిద్ధాంతం 2,000 సంవత్సరాలు ఎదురులేకుండా బతికింది - నూటన్ దానిని కూలదోసే దాకా. నూటన్ లేవదీసిన గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతం 300 ఏళ్లపాటు రాజ్యం ఏలింది – అయిన్స్టయిన్ వచ్చి దానిని సవరించే దాకా. నూటన్ తరువాత ఎంపిడోక్లిస్, అరిస్టాటిల్ ప్రభ్రుతుల సిద్ధాంతాలు నామరూపాలు లేకుండా కాలగర్భంలో కలిసిపోయాయి. కాని అయిన్స్టయిన్ ఎన్ని సవరింపులు చేసినా నూటన్ సిద్ధాంతాలు పూర్తిగా నశించిపోలేదు. ఎందువల్ల? మన దైనందిన కార్యక్రమాలలో నూటన్ సిద్ధాంతాలు చాలు. అవి అర్ధం చేసుకోవటం తేలిక. వాటిని వాడటం తేలిక. కళాశాలలో చదువుకునే విద్యార్ధులు కూడ అర్ధం చేసుకుని వాడగలరు. కనుక ప్రతి చిన్న విషయానికీ అయిన్స్టయిన్ అక్కరలేదు; గోటితో మీటగలిగేవాటికి గొడ్డలి ఎందుకు?

మరి అయితే అయిన్స్టయిన్ సవరింపులు ఎప్పుడు అవసరమవుతాయి? విపరీతమైన గరిమ గల నక్షత్రాలు, క్షీరసాగరాలు, కాంతి వేగంతో తులతూగే పరమాణు రేణువులు మన నమూనాలో ఇరకవలసి వచ్చినప్పుడు నూటన్ సిద్ధాంతం పని చెయ్యదు. అప్పుడు అయిన్స్టయిన్ కావాలి. విశ్వవిద్యాలయపు స్థాయికి చేరుకుంటే కాని అయిన్స్టయిన్ అర్ధం కాడు. అవన్నీ సంక్లిష్టమైన భావాలు, అదంతా సంక్లిష్టమైన గణితం.

పిపీలికాది బ్రహ్మ పర్యంతం ఈ విశ్వంలో ఉన్న ప్రతి పదార్ధాన్ని, ప్రతి బలాన్ని, ప్రతి ప్రవర్తనని ఒకే ఒక సిద్ధాంతంలో ఇమడ్చగలిగితే, ఒకే ఒక సూత్రంతో వర్ణించగలిగితే అదొక అందం. ముందస్తుగా, కాల గమనంతో పాటు ఈ విశ్వం ఎలా పరిణతి చెందుతోందో చెప్పే సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి. అవి ఈ రోజు ఈ విశ్వం ఎలాగుందో చెప్పగలిగితే రేపు ఈ విశ్వం ఎలాగుంటుందో చెప్పగలవు. రేపేమిటి? బిలియను సంవత్సరాల తరువాత ఈ విశ్వం ఎలా ఉంటుందో చెప్పగలవు ఈ సిద్ధాంతాలు. కాని “మొదట్లో ఈ విశ్వం ఎక్కడి నుండి వచ్చింది? ఎలా వచ్చింది? ఈ విశ్వం యొక్క ప్రాదుర్భావానికి కారకులు ఎవ్వరు?” మొదలైన ప్రశ్నలకి తాత్వికులు సమాధానాలు చెప్పాలి కాని శాస్త్రవేత్తలు కాదు. తాత్వికులని అడిగితే వారేమంటారు? ఈ విశ్వాన్ని సర్వశక్తి సంపన్నుడైన భగవంతుడు సృష్టించేడు అంటారు. కావచ్చుగాక! ఇదంతా ఆ భగవంతుడు లీల అయినప్పటికీ ఈ లీల అసంబద్ధంగా కాకుండా చాల క్రమబద్ధంగా, నియమబద్ధంగా ఉన్నట్లు కనబడుతోంది కదా.
నీళ్లు పల్లమెరుగుతున్నాయి. వేడి వస్తువులు చల్లారుతున్నాయి. గ్రహాలు గతులు తప్పకుండా సంచరిస్తున్నాయి. దేవుడు ఈ సృష్టిని ఒక క్రమమైన పద్దతిలోనే నడిపిస్తూన్నట్లు అనిపిస్తోంది కదా. కనుక దేవుడనేవాడు ఈ సృష్టిని జరిపినా ఆయన ఏదో ఆషామాషీగా చేసేసి ఉండడు; ఏదో ఒక కర్మ పద్ధతిలోనే చేసి ఉంటాడు. ఆ పద్ధతి ఏదో ఒకటి అయితే బాగుంటుంది కాని, పదిహేను పద్ధతులు, పాతిక మినహాయింపులు, పరక స్థిరాంకాలు ఉంటే అది దేవుడు చేసిన పనిలా ఉండదు, ఏదో కమిటీ చేసిన పనిలా ఉంటుంది.

కాని సృష్టి అంతటికీ ఒకే ఒక సిద్ధాంతం కావాలని మంకు పట్టు పట్టటంలోనూ విజ్ఞత లేదు. తల్లి గర్భంలోని పిల్ల భూపతనం అయినది మొదలు భవిష్యత్తు ఎలా ఉంటుందో జాతకం రాయగలం. కాని, భూపతనానికి ముందు ఏమి జరిగిందో చెప్పటానికి ఈ జాతకం పనిచెయ్యకపోవచ్చు. జనన ఘడియల తరువాత వర్తించే జాతక సిద్ధాంతం పిండానికి వర్తించాలని ఏముంది? రెండింటికి ఒకే సిద్ధాంతం ఉంటే బాగానే ఉండొచ్చు. అలా లేకపోయినంత మాత్రాన వచ్చే నష్టం కూడ ఏమీ లేదు.

ఇంతకీ చెప్పొచ్చేదేమిటంటే విశ్వాన్నంతటినీ, సర్వకాల సర్వావస్థలకీ సరిపోయే విధంగా ఒకే ఒక సమస్త సిద్ధాంతంతో వర్ణించటం సుసాధ్యం కాదేమో. అటువంటి భృహత్ ప్రయత్నానికి బదులు విశ్వం యొక్క జీవిత కాలాన్ని దశల వారీగా విడగొట్టి ఏ దశకి నప్పిన విధంగా, విడివిడిగా, పిల్ల సిద్ధాంతాలని నిర్మించుకోవచ్చు కదా. చూడండి, పిల్లల రోగాలకో వైద్యుడు, ఆడవాళ్ల రోగాలకి మరొక వైద్యుడు, కంటి రోగాలకి మరొకడు ఉన్నట్లే అణుప్రమాణంలో ఉన్న విశ్వానికో సిద్ధాంతం, క్షీరసాగరాల ప్రమాణంలో ఉన్న విశ్వానికి మరొక సిద్ధాంతం, పుట్టిన తరువాత పెరుగుదలకి ఒక సిద్ధాంతం, పుట్టకపూర్వం పరిస్థితికి ఇంకొక సిద్ధాంతం – ఇలా ఒక క్లిష్టమైన సమశ్యని ముక్కలుగా చేసి అధ్యయనం చెయ్యవచ్చు. ఉదాహరణకి సూర్యుడి చుట్టూ గ్రహాలు తిరిగే కక్ష్య ని నిర్ణయించటానికి ఆయా నభోమూర్తుల గరిమలు, వాటి మధ్య ఉండే దూరాలు తెలిస్తే చాలు; సూర్యుడికి ఆ వెలుగు, వేడి ఎక్కడనుండి వచ్చేయి, గ్రహగర్భంలో జరిగే చైతన్య ప్రక్రియలు ఏమిటి మొదలైన విషయాల ప్రసక్తి అనవసరం.


ఈ కోణంతో అలోచించి, ఎలాగో ఒకలాగ సరిపెట్టుకుందామా అంటే అదీ వీలయేటట్లు లేదు. ఎందుకంటే, ఈ రోజుల్లో విశ్వాన్ని వర్ణించటానికి స్థూలంగా రెండు అసంపూర్ణమైన సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి: సాధారణ సాపేక్ష సిద్ధాంతం, గుళిక సిద్ధాంతం. సాధారణ సాపేక్ష సిద్ధాంతం గురుత్వాకర్షణ బలం అంటే ఏమిటో, భారీ ఎత్తున విశ్వం కట్టడి, లక్షణాలు ఎలా ఉంటాయో చెబుతుంది. “భారీ ఎత్తున” అంటే ఈ సిద్ధాంతంలో దూరాలు ఒక కిలోమీటరు నుండి 10E24 కిలోమీటర్లు వరకు ఉండొచ్చు. స్థూలంగా విచారిస్తే ఈ సిద్ధాంతంలో లొసుగులు లేవు. పోతే, గుళిక సిద్ధాంతం అణుప్రమాణంలో పని చేస్తుంది. అంటే, ఈ సిద్ధాంతంలో దూరాలు మీటరులో ట్రిలియనో వంతు ప్రమాణంలో ఉంటాయి. ట్రిలియను ఊహించుకోవటం కష్టం కనుక, గుళిక సిద్ధాంతం అణుప్రమాణపు పరిధిలోనే పనిచేస్తుందని చెప్పి ఊరుకుంటాను. ఈ సిద్ధాంతంలోను లొసుగులు లేవు. ఈ సిద్ధాంతం ఎంత జయప్రదం అయిందంటే, ఈ సిద్ధాంతం వల్లనే ట్రాన్సిస్టర్లు, కంప్యూటర్లు, లేసర్లు, మొదలైన పరికరాలు నిర్మించటానికి వీలు పడింది.

దురదృష్టవశాత్తు ఈ రెండు సిద్ధాంతాలకీ మధ్య పొత్తు పొంతనలు కుదరటం లేదు. ఈ రెండు సిద్ధాంతాలు ఒకే సారి నిజం కావటానికి వీలు లేదు. ఈ రెండు సిద్ధాంతాలని సంధాన పరచి, మరొక సరికొత్త ఉమ్మడి సిద్ధాంతం లేవదియ్యవలసిన అవసరం ఎంతయినా ఉంది. ఈ ఉమ్మడి సిద్ధాంతానికి పేరు కూడ పెట్టేరు: గుళిక గురుత్వ సిద్ధాంతం లేదా గుళికీకరించబడ్డ గురుత్వ సిద్ధాంతం (క్వాంటం థియరీ అఫ్ గ్రేవిటీ). ఇటువంటి సిద్ధాంతం ప్రస్తుతం మన దగ్గర లేదు. ఉంటే బాగుండుననే కోరిక ఉంది. ఇటువంటి గుళిక గురుత్వ సిద్ధాంతానికి ఉండవలసిన హంగులు ఏమిటో మనకి స్థూలంగా తెలుసు. అటువంటి సిద్ధాంతం మనం నిర్మించగలిగితే దానివల్ల మనకి సమకూరే లాభాల జాబితా కూడ మన దగ్గర ఉంది. “పెళ్లికి అంతా సిద్ధం; పెళ్లికూతురు దొరకడమే తరవాయి!” అన్నట్లు ఉంది పరిస్థితి.

ఈ సమస్త సిద్ధాంతం దొరికిందని అనుకుందాం. అప్పుడు ఆ సిద్ధాంతం సమస్తాన్నీ వర్ణించి చెప్పగలగాలి. సమస్తమూ భవిష్యత్తులో ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో చెప్పగలగాలి. ఆ సమస్తంలో మనమూ ఒక భాగమే. కనుక సమస్త సిద్ధాంతం అంటూ ఒకటి ఉంటే గింటే అది మన ప్రవర్తనని కూడా చెప్పగలుగుతుంది. అంటే, ఆ సమస్త సిద్ధాంతాన్నీ నిర్మించగలిగే తాహతు మనకి ఉందో లేదో అన్న మీమాంశకి సమాధానం ఆ సిద్ధాంతమే చెప్పాలి.

ఈ చక్రీయ తర్కం ఎలాగుందంటే --- నా చిన్నతనంలో జరిగిన సంఘటన చెబుతాను. నేను అమెరికా చదువుకుందికి వెళ్లిన కొత్తలోనే నాకు కంప్యూటర్లతో పరిచయం అయింది. ఆ కంప్యూటర్లు ఉపయోగించి జాతకాలు రాస్తే ఎలాగుంటుందోనన్న ఊహ మెరిసింది నా మదిలో. మా నాన్నగారు జాతకాలు చెప్పటంలో దిట్ట. అందుకని ఆయనని ఆశ్రయించి జాతకాలు రాయటం నేర్పమని అడిగేను. ఆయన గడియారం మీద వేళ చూసి, వేళ్లమీద ఏవేవో లెక్కలు చేసి, “నాయనా, నీ జాతకం ప్రకారం జాతక విద్య నీకు అబ్బదు. అనవసరంగా ఇటువంటి ప్రయోగాలతో కాలయాపన చెయ్యకుండా శ్రద్ధగా నీ చదువు నువ్వు చదువుకో.” అని నిరుత్సాహ పరిచేరు. అదే విధంగా ఆ సమస్త సిద్ధాంతం నిర్మించగలిగే స్థోమత మానవ జాతికి ఉందో లేదో ఆ సమస్త సిద్ధాంతమే చెప్పాలి కాబోలు!

ప్రస్తుతం మన దగ్గర, అసమగ్రంగా, అసంపూర్ణంగా ఉన్న సిద్ధాంతాలతో పబ్బం గడిచిపోతోంది. ఎడారిలో ఎండమావిలా ఊరిస్తూన్న ఆ గుళిక గురుత్వ సిద్ధాంతం లేకపోయినంత మాత్రాన్న మన మనుగడకి వచ్చే ముప్పు ఏదీ కనబడటం లేదు. అటువంటప్పుడు అంతంత డబ్బు ఖర్చు పెట్టటం భాద్యతో కూడిన పనేనా అని సంశయం రావటం సహజం.

కాని అదేమి చిత్రమో! చరిత్రలో ఎక్కడ చూసినా కుతూహలం అనేది మెదడులో ప్రవేశించిన తరువాత అది కుమ్మరి పురుగులా అలా గొలుకుతూనే ఉంటుంది. సందేహం నివృత్తి అయేవరకు బుర్రలో ఆ దురద తగ్గదు, దాహం తీరదు. ఆ దాహం తీరటానికి గమ్యం చేరుకోవటం ఎంత ముఖ్యమో ఈ ప్రయాణం కూడ అంతే ముఖ్యం. అందుకని పదండి ముందుకు పోదాం.

Monday, July 4, 2011

13. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –మూడవ భాగం

విశ్వస్వరూపం (గత సంచిక తరువాయి)

13. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –మూడవ భాగం

వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు


1. ఆకారాలలో వికారాలు

అయితే విశ్వం బంతిలా, గుండ్రటి ఆకారంలో, ఉందా? విశ్వం బంతిలా ఉండుంటే ఇంత రాద్ధాంతం చెయ్యవలసిన పనే ఉండేది కాదు; మొదట్లోనే విశ్వం బంతిలా ఉందనో, నారింజ పండులా ఉందనో, మా పెద్ద తెలుగు మేష్టారి ముక్కుపొడుం డబ్బాలా ఉందనో చెప్పేసి చేతులు కడిగేసుకుని ఉండేవాడిని. కాని ఈ బంతి నమూనా ఉత్తరోత్తర్యా ఉపయోగపడుతుంది. ఇప్పుడు గుండ్రంగా ఉన్నవన్నీ బంతులు కావని మనం గమనించాలి. సబ్బు బుడగ గుండ్రంగా ఉంటుంది, టెన్నిస్ బంతి గుండ్రంగా ఉంటుంది, బందరు లడ్డు గుండ్రంగా ఉంటుంది, గుండ్రంగా ఉన్న ఉల్లిపాయలు కూడ ఉంటాయి. వీటిల్లో విశ్వాకారం ఏ రకం “గుండ్రం” అన్నది తేల్చవలసిన ప్రశ్న. మరికొంచెం లోతుగా వెళదాం.

యూకిలిడ్ నిర్వచనానికి తలఒగ్గిన గోళాకారం మనం రోజూ చూసే బంతి. రీమాన్ నిర్వచనానికి తల ఒగ్గిన గోళం ఎలా ఉంటుంది? ఈ ప్రశ్నకి సమాధానం అంచెల మీద ఊహించుకుందాం. వృత్తం (circle) అన్న మాటకి నిర్వచనం ఏమిటి? గుండ్రంగా ఉన్న పళ్ళెం అంచుని ఆనుకుని ఉన్న ఒంపు తిరిగిన రేఖ. పళ్ళెం (plate, disk) అన్న భావానికీ, ఉచ్చు (loop) అన్న భావానికీ తేడా ఉంది కదా. ఇప్పుడు బుడగ (bubble) అన్న మాటని గుండ్రంగా ఉన్న సబ్బు బుడగతో పోల్చుదాం. గోళం (sphere) అన్న మాటని గుండ్రంగా ఉన్న లడ్డుండతో పోల్చుదాం. ఇప్పుడు ద్వి-దిశాత్మకమైన (two-dimensional) పళ్లెం చుట్టూ ఉన్న పరిధి (లేదా ఉచ్చు) ఏక-దిశాత్మకం (one-dimensional) మాత్రమే అని గమనించండి. (గుండ్రంగా అమర్చిన దారం వెంబడి మనం "ఒకే ఒక దిశ"లో ప్రయాణం చెయ్యగలం. కనుక ఉచ్చుకి ఒకే కొలత లేదా ఒకే దిశ. ) అలాగే త్రి-దిశాత్మకమైన లడ్డుండ కీ ద్వి-దిశాత్మకమైన సబ్బు బుడగకీ మధ్య తేడా గమనించండి. (సబ్బు బుడగకి ఉపరితలం ఉంది కాని, మందం లేదు, కనుక దాని మీద రెండు దిశలలోనే ప్రయాణం చెయ్యగలం; ఒకటి అక్షాంశ దిశ, రెండోది రేఖాంశ దిశ). అంటే, గణిత పరిభాషలో వృత్తం "ఏక-దిశాత్మకమైన, పరిమితి లేని, ఒంపు తిరిగిన గీత". బుడగ "ద్వి-దిశాత్మకమైన, పరిమితి లేని, ఒంపు తిరిగిన ఉపరితలం (surface)".

త్రి-దిశాత్మకమైన (3-dimensional) బుడగ ఎలా ఉంటుంది? ఈ రకం బుడగ మన అనుభవంలో సాధారణంగా తారస పడదు, కాని ఊహకి పరిమితి లేదు కదా: ఒక పెద్ద సబ్బు బుడగలో మరొక చిన్న సబ్బు బుడగని ఊహించుకోవటం కష్టం కాదు. (రబ్బరు బుడగలలోకి గాలి ఊది రకరకాల బొమ్మలు చేసే వీధి వ్యాపారులు బుడగలో బుడగ తెప్పించటం నేను చూసేను.) ఈ రకంగా ఊహించుకున్న సబ్బు బుడగ చూడటానికి "గుండ్రం" గానే ఉంటుంది, కాని అది నాలుగు "దిశలలో" వ్యాపించి ఉంటుంది (బుడగలో ఉన్న బుడగని వర్ణించటానికి "పొడుగు", "వెడల్పు", కాకుండా "లోతు" కూడా కావాలి కదా!). ఈ రకం "బుడగలో బుడగ" ని మీరు ఊహించుకోలేకపోతే బజారులో కొండపల్లి లక్క మనుష్యులని చూడండి. కొన్ని రకాల నమూనాలలో "మనిషి కడుపులో మరో మనిషి" ఉంటుంది - అలాగన్న మాట. ఈ లక్క మనుష్యుల నమూనా కంటె నాకు నచ్చిన మరొక నమూనా ఉంది. అదే గుండ్రటి ఉల్లిగడ్డ. ఉల్లిగడ్డలో ఎన్నో పొరలు - ఒక దానిలో మరొకటి ఉంటాయి కదా. పైనున్న గుండ్రటి పొర ఒక సబ్బు బుడగ లాంటిది, దాని లోపల పొర మరొక గుండ్రటి బుడగ లాంటిది. ఉల్లిగడ్డలో ఇటువంటి పొరలు ఎన్నో ఉంటాయి.






బొమ్మ. అతిగోళాన్ని చిత్రించటానికి చేసిన రెండు ప్రయత్నాలు

2. నఖచిత్రం

ఇంతవరకు నేర్చుకున్న విషయాల నేపథ్యాన్ని ఉపయోగించి మనకి గోచరమయ్యే విశ్వం యొక్క స్వరూపం ఎలా ఉంటుందో ఒక నఖ చిత్రంలా ఊహిద్దాం. ఇక్కడ రెండు నమూనాలు నిర్మించటానికి సావకాశం ఉంది. మొదట భూకేంద్ర నమూనాని (geocentric model) వర్ణించటానికి ప్రయత్నిస్తాను. ఈ నమూనాలో మనం భూమి మీద కూర్చుని విశ్వాన్ని చూస్తూ ఉంటాం. అప్పుడు పేద్ద ఉల్లిగడ్డ పొట్టలో, మధ్యని, ఒక గోళీకాయలా భూమి ఉందన్నమాట. మనకి గోచరమయ్యే ప్రతి గ్రహాన్ని, నక్షత్రాన్నీ, క్షీరసాగరాన్ని ఈ గోళీ నుండి సందర్భోచితమైన దిశలోనూ, దూరం లోనూ అమర్చుదాం. ఆధునిక ఖగోళశాస్త్రవేత్తలు చెప్పేది ఏమిటంటే మనం భూమి నుండి దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ కాలంలో కూడ వెనక్కి వెళుతూ ఉంటాం. అంటే ఉల్లిగడ్డ పైపొరలు సృష్టి జరిగిన కొత్త రోజులని సూచిస్తాయి. అన్నిటికంటె పైనున్న పొర, లేదా ఉల్లిగడ్డ చర్మం, సృష్టి కి మొదలు. బ్రహ్మాండ విచ్ఛిన్న వాదాన్ని నమ్మే వారికి అప్పుడే (అక్కడే) "బిగ్ బేంగ్" జరిగిందన్నమాట.

పైదానికి ప్రత్యామ్నాయంగా ఆది శక్తిని కేంద్రంగా (big bang centric model) ఉపయోగించి మరొక నమూనాని తయారు చెయ్య వచ్చు. ఈ రెండు నమూనాలు ఒకదానికొకటి బొమ్మ-బొరుసు లాంటివి. ఒక రబ్బరు బుడగలో పై ఉపరితలం బొమ్మా, లోపలి ఉపరితలం బొరుసూ అయితే, బుడగ పేలిపోకుండా, చిరిగిపోకుండా, పై తలాన్ని లోపలికి, లోపలి ఉపరితలాన్ని పైకి వచ్చేటట్లు "బోర్లించేం" అనుకొండి. అటువంటి ప్రక్రియని సంకేతిక పరిభాషలో eversion (inversion ని పోలిన కొత్త మాట) అంటారు. అలాంటి ప్రక్రియ చెయ్యగలిగితే "భూ కేంద్రక నమూనా", "శక్తి కేంద్రక నమూనా", రెండూ సర్వ సమానాలు. ఈ వికారాలన్నీ అర్ధం కావాలంటే సంస్థితి శాస్త్రం (topology) అధ్యయనం చెయ్యాలి.

ఈ చర్చని కొస ముట్టించే లోగా అయిన్స్టయిన్ రీమాన్ ని అంతలా ఎందుకు పొగిడేడో విచారిద్దాం. ఆయిన్స్టయిన్ రీమాన్ నమూనాని తీసుకుని దానికి చిన్న చిన్న మెరుగులు దిద్దేడు. రీమాన్ నమూనాలో స్థలానికి ఎన్ని కొలతలయినా ఉండొచ్చు: పొడుగు, గిడుగు, వెడల్పు, గిడల్పు, లోతు, గీతు, ఇలా ఎన్ని దిశలలో కావలిస్తే అన్ని దిశలలో నిరూపక అక్షాలు ఊహించుకుని స్థలాలు నిర్మించవచ్చు. ఈ అక్షాలు అన్నీ నిజ రేఖలే (real lines). రీమాన్ ప్రత్యేకించి పైకి అనకపోయినా ఈ నిజ రేఖలన్నీ స్థలం (space) యొక్క వ్యాప్తిని కొలుస్తాయి. ఇక్కడ అయిన్స్టయిన్ చేసిన సవరింపులు రెండే రెండు. ఒకటి, నాలుగు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన రీమాన్ క్షేత్రం తనకి చాలు అన్నాడు. రెండు, ఈ నాలుగు దిశలలో మూడు స్థల నిరూపక అక్షాలనీ (space coordinate axes), ఒకటి కాలం నిరూపక అక్షాన్నీ (time coordinate axis) సూచిస్తాయన్నాడు. ఈ నాలుగు అక్షాలు నిర్వచించే ప్రదేశం పేరు స్థల-కాల సమవాయం (space-time continuum) అన్నాడు. దీన్ని మనం స్థల-కాల క్షేత్రం (space-time field) అని కూడ అనొచ్చు.లేదా టూకీగా స్థలకాలం అనొచ్చు. ఇదంతా రీమాన్ పెట్టిన బిక్షే. ఈ రీమాన్ క్షేత్రంలో అయిన్స్టయిన్ తన సాధారణ సాపేక్ష సిద్దాంతం (General Theory of Relativity) అనే సౌధాన్ని లేవదీశాడు. యూకిలిడ్ క్షేత్రంలో నూటన్ నిర్మించిన గురుత్వాకర్షణ సిద్దాంత సౌధం కంటె అయిన్స్టయిన్ నిర్మించినది ఎంతో రమ్యమైన హర్మ్యం.

మరయితే అయిన్స్టయిన్ చెప్పినదే ఆఖరి మాటా? పదకొండు కొలతలు అన్నాను కదా! వాటి మాటేమిటి? పిదప కాలపు సైంటిస్టులు పిదప కాలపు బుద్ధులతో అయిన్స్టయిన్ ని సవాలు చేస్తున్నారు. విశ్వానికి పది స్థల నిర్దేశపు కొలతలు (ten space dimensions) ఒక కాల నిర్దేశపు కొలత (one time dimension), వెరసి మొత్తం పదకొండు కొలతలు ఉన్నాయని వారు ఊహిస్తున్నారు. ఈ వాదనలో ఎంత పటుత్వం ఉందో కాలమే నిర్ణయించాలి. చూద్దాం.

3. ఇంతకీ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది?

లక్క పిడతని చేతికి ఇచ్చి “ఇది ఏ ఆకారంలో ఉంది?” అని అడిగితే ఆ పిడతని ఇటూ, అటూ తిప్పి దాని ఆకారం నిర్ధారించవచ్చు. విశ్వం ఆకారం నిర్ధారణ చెయ్యటం అంత తేలిక పని కాదు. కనుక గణితం మీద ఆధారపడాలి.

అయిన్స్టయిన్ సమీకరణాల ప్రకారం ఈ విశ్వం మూడు ఆకారాలలో ఏదో ఒక ఆకారంలో ఉండొచ్చు. నేను చెప్పబోయే ఆకారాలు మనకి పరిచయమైన స్థలానికి సంబంధించినవి కావు; నాలుగు దిశలలో వ్యాప్తి చెందినస్థలకాలానికి సంబంధించిన ఆకారాలు. వీటిని ఊహించుకోవటం మన తరం కాదు కనుక రెండు దిశల ప్రపంచాన్ని, మూడు దిశల ప్రపంచాన్ని ఉపమానాలుగా తీసుకుందాం.

అయిన్స్టయిన్ నిర్మించిన సమీకరణాల ప్రకారం స్తలం (space) ఏ ఆకారంలో ఉందో తెలియాలంటే దాని వక్రత తెలియాలి. ఈ వక్రత స్థలంలో ఉన్న పదార్ధం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. మరి కొంచెం నిర్ధిష్టంగా చెప్పాలంటే పదార్ధం యొక్క సాంద్రత మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. పదార్ధం అన్నా శక్తి అన్నా ఒకటే కనుక, ఈ వక్రత పదార్ధపు సాంద్రత మీద, శక్తి సాంద్రత మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ రెండూ ఎక్కువగా ఉంటే స్థలం బాగా ఒంపు తిరిగి “గుండ్రటి” ఆకారంలోకి వస్తుంది. పదార్ధం తక్కువగా ఉంటే బాగా ఒంపు తిరగటానికి సాఅవకాశం లేక, “గుర్రపు జీను” ఆకారంలో ఉంటుంది. పదార్ధం ఎక్కువా కాకుండా, తక్కువా కాకుండా, సరిగ్గా తూకం వేసినట్లు ఉంటే, అప్పుడు వీశ్వానికి ఏ వక్రతా ఉండదు; “బల్లపరుపు” ఆకారం లో ఉంటుంది. ఇక్కడ, “గుండ్రం”, “గుర్రపు జీను”, “బల్ల” అనేవి మన అనుభవంలో ఉన్న ఆకారాల పేర్లు. వీటినే నాలుగిఉ దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన స్థలకాలంలో ఎలా ఉంటాయో ఊహించుకోవాలి.

“సరిగ్గా తూకం వేసినంత” అంటే ఎంత? ఆయిన్స్టయిన్ సూత్రాల ప్రకారం లెక్క వేస్తే ఈ పదార్ధం సుమారుగా ఘనపు సెంటీమీటరుకి 2x10-29 గ్రాములు ఉంటుందని లెక్క తేలింది. మనందరికీ అర్ధం అయే భాషలో చెప్పాలంటే ఒక ఘనపు మీటరులో సుమారుగా ఆరు ఉదజని అణువులు చొప్పున ఉంటే ఈ విశ్వం “బల్లపరుపు” ఆకారంలో ఉంటుంది. ఇంకా ఊహించుకోటానికి వీలుగా చెప్పాలంటే మన భూమి ఆక్రమించినంత స్థలంలో ఒక నీటి బిందువు చొప్పున ఈ విశ్వంలో పదార్ధం ఉంటే అప్పుడు ఈ విశ్వం ఆకారం బల్లపరుపుగా ఉందని మనం అనుకోవచ్చు.

పైన చెప్పిన లెక్క వేసినప్పుడు విశ్వంలోని పదార్ధాన్ని అంతటినీ గుండకొట్టి పిండారబోసినట్లు పల్చగా విస్వవ్యాప్తంగా పరిస్తే ఒకొక్క ఘనపు మీటరు ప్రదేశంలో ఉరమరగా ఆరేసి ఉదజని అణువులు ఉంటాయన్నమాట. కనుక విశ్వాకారం తెలియాలంటే విశ్వంలో పదార్ధపు సగటు సాంద్రత తెలియాలి. ఈది ఎలా కొలవటం? శక్తిమంతమైన దుర్భిణి సహాయంతో వీశ్వం నలుమూలలా ఏయే పదార్ధాలు (క్షిఋఅసాగరాలు, నక్షత్రాలు, తేజోమేఘాలు, వగైరా) ఉన్నాయో లెక్క పెట్టటం. ఆమధ్య ఇలా లెక్క పెట్టినప్పుడు ఈ సగటు సాంద్రత ఘనపు మీటరుకి కేవలం రెండు ఉదజని అణువులు ఉన్నాయని తేలింది. అంటే ఈ లెక్క ప్రకారం వీశ్వం వక్రత రుణాత్మకం కనుక విశ్వం గుర్రపు జీను ఆకారంలో ఉందని అనుకున్నారు.

కాని 1990 దశకంలో ఒక అనూహ్యమైన సంఘటన జరిగింది. విశ్వవ్యాపతంగా ఉన్న శూన్యప్రదేశంలో ఒక అడృశ్యమైన శక్తి ఉందనిన్నీ, గురుత్వాకర్షణ ఒక పక్కనుండి వెనక్కి లాగుతూ ఉంటే ఈ కృష్ణ శక్తి విశ్వాన్ని వ్యాప్తి చెందమని ముందుకి తోస్తోందనిన్నీ వీరు ఇప్పుడు సిద్ధాంతీకరిస్తున్నారు. హబుల్ టెలిస్కోపుతో చేసిన పరిశోధనలకి ఈ సిద్ధాంతాలని జోడిస్తే ఈ విశ్వంలో ఉన్న పదార్ధంపు సాంద్రత, శక్తి సాంద్రత, వెరసి మొత్తం సాంద్రత సరిగ్గా “ఒకటి” అని తేలుతీంది. ఈ లెక్క కొంచెం కిట్టించినట్లు కనబడుతోంది. ఇదే నిజం అయితే ఈ విశ్వం త్రి-దిశాత్మకమైన “బల్లపరుపు” ఆకారంలో ఉంటుందని తీర్మానించాలి.

Friday, July 1, 2011

12. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –రెండవ భాగం

విశ్వస్వరూపం (గత సంచిక తరువాయి)

12. ఈ విశ్వం ఏ ఆకారంలో ఉంది? –రెండవ భాగం

వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

1. నూటన్ సౌధానికి పడ్డ బీటలు

క్రీ. పూ. మూడవ శతాబ్దం నుండి సా. శ. పదిహేడవ శతాబ్దానికి వద్దాం. గెలిలియో దూరదర్శినితో ఆకాశంలోకి చూసిన తరువాత మన దృక్పథమే పూర్తిగా మారిపోయింది. అటు తరువాత నూటన్ వచ్చి ఈ విశ్వాన్ని అనంతమైనదిగా ఉహించుకున్నాడు. అంతే కాకుండా నూటన్ తన సిద్ధాంతాలన్నిటికీ ఆసరాగా ఈ అనంతమైన విశ్వం బల్లపరుపుగా ఉన్నాదని ఊహించుకున్నాడు. ఈ నమ్మకంతోటే నూటన్ తన సిద్ధాంత సౌధాన్ని యుకిలిడ్ నిర్మించిన క్షేత్రం మీద నిర్మించేడు. యూకిలిడ్ క్షేత్రం బల్లపరుపుగా ఉంది కనుక నూటన్ ఊహించుకున్న విశ్వం కూడ బల్లపరుపుగానే ఉందని మనం అనుకోవచ్చు కదా?

నూటన్ తను నిర్మించిన "మేడ" బీటలుదేరి కూలిపోబోతున్నాదని కలలో కూడ అనుకొని ఉండడు: రెండు శతాబ్దాలైనా తిరగకుండానే విశ్వాకారం యూకిలిడ్ క్షేత్రంలా బల్లపరుపుగా లేదని తేలిపోయింది, ఆ విశ్వంలో అనువర్తించే చలన సూత్రాలు నూటన్ ఉద్ఘాటించినట్లు కాక వాటికి కొద్ది కొద్ది మార్పులు చెయ్యవలసి ఉంటుందనీ తేలిపోయింది.

నూటన్ నిర్మించిన సౌధం ఇలా కూలిపోవటానికి కారణం రెండు పెడల నుండి జరిగిన దాడి. ఒక పెడ నుండి యూకిలిడ్ నమ్ముకున్న "విస్పష్ట సత్యాలు" విస్పష్టమూ కాదు, సత్యమూ కాదు" అని ఆక్షేపణ వచ్చింది. ఈ ఆక్షేపణకి సారధ్యం వహించినది రష్యా దేశపు నికొలాయి లొబచేవ్స్కీ మరియు హంగరీ దేశపు యానోస్ బోల్యాయీ. రెండవ పెడ నుండి జరిగిన దాడి విశ్వాకారం "యూకిలిడ్ క్షేత్రం" లా ఉంటుందనే నూటన్ నమ్మకం మీద. ఈ దాడికి సారధి జెర్మనీ దేశస్తుడైన బెర్నార్డ్ రీమాన్.

తన మనోభావాలనీ, సిద్ధాంతాలనీ రీమాన్ ఎలా ప్రభావితం చేసేడో అయిన్స్టయిన్ ఇలా చెబుతాడు: "...రీమాన్ ఏకాకిలా జీవితం గడుపుతూ ఎవ్వరికీ అర్ధంకాకుండా ఉండిపోయినా, విశ్వాకారానికి రూపులు దిద్దటంలో అతని మేధోత్పత్తి విజ్ఞుల హృదయాలని జయించింది...". ఈ ప్రశంసకి ప్రేరణ కారణం 28 ఏళ్ళ రీమాన్ గూటింజన్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఉద్యోగం కోసం వెళ్ళినప్పుడు "క్షేత్రగణితపు ప్రాతిపదికల పై వ్యాఖ్యానం" అన్న అంశం పై ఇచ్చిన ప్రసంగం. ఈ ప్రసంగంలో రీమాన్ ఎన్నో కొత్త పుంతలు తొక్కుతూ ఎన్నో కొత్త భావాలని ప్రవేశపెట్టేడు; "స్థలం" (space) లేదా "అంతరాళం" అన్న మాటకి కొత్త భాష్యం చెప్పేడు.

యూకిలిడ్ క్షేత్రగణితానికి కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి బల్లపరుపు కాగితం మీద గీసే బొమ్మలు మౌలికాంశాలు. రీమాన్ ఈ పాత భావాలని, పాత పదజాలాన్ని, కాగితాల మీద గీసే బొమ్మలనీ పక్కకి తోసి సరికొత్త పద్ధతిలో, సరికొత్త పదజాలంతో సరికొత్త క్షేత్రగణితాన్ని నిర్మించేడు. రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెందిన బల్లపరుపు ప్రదేశం కలిగించే సంకెళ్ళని సడలించి ఈ సరికొత్త క్షేత్రగణితం కొత్త భవనానికి పునాదులు వేసింది. రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన కొత్త పదజాలంలో మొదటిది "మేనిఫోల్డ్" (manifold). మేనిఫోల్డ్ అంటే మరేమీ కాదు - అదొక బిందువుల సమూహం; మనకి ఇంతవరకు పరిచయమయిన ఆకారాలతో నిమిత్తం లేకుండా ఈ బిందు సమూహాన్ని ఊహించుకొండి. ఒక క్షేత్రంలో ఒక బిందువు ఎక్కడ ఉందో తెలియచెయ్యటానికి కొన్ని సంఖ్యలు వాడతాం కదా. ఉదాహరణకి విశాఖపట్నం ఎక్కడుందో చెప్పాలంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం చెబితే సరిపోతుంది. ఎవరెస్టు శిఖరం ఎక్కడుందంటే దాని అక్షాంశం, రేఖాంశం, ఎత్తు అనే మూడు లక్షణాలు చెబితే సరిపోతుంది. "ఒక బిందువు ఉనికిని వర్ణించటానికి, గణితశాస్త్రం దృష్ట్యా, మూడే మూడు లక్షణాలు (లేదా, కొలతలు) ఉండాలనే నిబంధన ఏదీ లేదు, ఎన్ని లక్షణాలు కావలిస్తే అన్ని వాడుకోవచ్చు, అవసరమైతే అనంతమైనన్ని లక్షణాలు (కొలతలు) వాడుకోవచ్చు" అని రీమాన్ అన్నాడు. ఇది గభీమని మింగుడు పడని భావన అయినప్పటికీ చిన్న ఉపమానంతో ఉదహరిస్తాను. ఒక మనిషిని వర్ణించాలంటే పొడుగు, బరువు, మాట్లాడే భాష, శరీరపు ఛాయ, జుత్తు రంగు లక్షణాలు గా వాడి ఆ మనిషిని 5-దిశల క్షేత్రంలో ఒక బిందువుగా చూపవచ్చు. ఈ రకం క్షేత్రంలో ఉన్న బిందుసమూహం పేరు మేనిఫోల్డ్. మనం తెలుగులో "బిందుసమూహం" అనొచ్చు.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన రెండవ భావన "మెట్రిక్" (metric), లేదా కొలమానం. యూకిలిడ్ క్షేత్రగణితంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం కావాలంటే పైథోగరోస్ సిద్ధాంతాన్ని కొలమానంగా ఉపయోగించి లెక్క కడతాం. యూకిలిడ్ గణితంలో కాగితం మీద ఉన్న ఒక బిందువుని వర్ణించటానికి రెండు నిరూపకాలు (co-ordinates) కావాలి. "రెండు బిందువుల x-అంశాల మధ్య దూరం నీ y-అంశాల మధ్య దూరం నీ వర్గీకరించి కలపగా వచ్చిన మొత్తం ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరపు వర్గానికి సమానం" అన్నది మనందరికి పరిచయమైన పైథోగరోస్ సూత్రం. ఈ సూత్రం రీమాన్ క్షేత్రంలో ఎలా మార్పు చెందుతుందో చూద్దాం. ఉదాహరణకి, రెండు కొలతలు గల రీమాన్ క్షేత్రంలో రెండు బిందువుల మధ్య దూరం యొక్క వర్గం కావాలంటే ఆయా బిందువుల x-నిరూపకాల మధ్య దూరం నీ y-నిరూపకాల మధ్య దూరం నీ వర్గీకరించి, వాటిని ఆ పళంగా కలిపేయకుండా, ఆ వర్గాలని వేర్వేరు నిష్పత్తులలో కలపగా వచ్చిన మొత్తాన్ని ఆ బిందువుల మధ్య దూరంగా నిర్వచించవచ్చు అన్నాడు రీమాన్. (The square of distance between two pints can be defined as the weighted average of the square of the differences between the individual coordinates). ఇది కేవలం "అజహరణ పైథోగరోస్ సిద్ధాంతం" (generalized Pythagoras Theorem) అని గమనించండి.

రీమాన్ ప్రవేశపెట్టిన మరొక రెండు కొత్త భావాలు: ఒంపు లేదా వక్రత (curvature), సంస్తరితం (embedding). యూకిలిడ్ నిర్మించిన ప్రపంచం లో వక్ర రేఖలు (curved lines), వక్ర తలాలు (curved surfaces) ఉంటాయి. వృత్తంలో ఒక భాగమైన చాపం (arc) వక్ర రేఖకి ఒక ఉదాహరణ. గోళం (sphere) యొక్క ఉపరితలంలో ఒక భాగం వక్ర తలం కి ఉదాహరణ. కాని యూకిలిడ్ ప్రపంచంలో "వక్ర స్థలం" (curved space) అనే భావన లేనే లేదు. కాని రీమాన్ ప్రపంచంలో ఎన్ని కొలతలు ఉన్న ప్రదేశంలో అయినా, ఏ బిందు సమూహానికయినా వక్రత (curvature) ఉండొచ్చు; ఒకే ఒక దిశలో వ్యాప్తి చెందిన తీగకి వక్రత ఉండొచ్చు, రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన అప్పడానికి వక్రత ఉండొచ్చు, మూడు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన బంతికి వక్రత ఉండొచ్చు, నాలుగు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన "మరొకదానికి" వక్రత ఉండొచ్చు. ఈ వక్రతని గణితపరంగా తప్ప బొమ్మల రూపంలో ఊహించుకోవటం కష్టం.

రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ నూనెలో పడగానే "పొంగటం" ఒక రకమైన వక్రత. ఇలా రెండు దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన పూరీ వక్రత చెందినప్పుడు మూడవ దిశలోకి పొంగింది. కనుక రెండు దిశలలో ఉన్న పూరీ పొంగినప్పుడు మనం బల్లపరుపుగా ఉన్న ప్రపంచంలో బంధితులమై ఉండుంటే ఆ పొంగు కనిపించి ఉండేది కాదు; మనం మూడు దిశల ప్రపంచంలో ఉన్నాం కనుక చూడగలుగుతున్నాం. ఇదే విషయాన్ని మరొక విధంగా చెబుతాను. రెండు దిశల ప్రపంచంలో కనిపించని వక్రత వంటి లక్షణాలు కనిపించాలంటే ఆ పూరీ ని మూడు దిశల ప్రపంచంలో సంస్థరించాలి (లేదా embed చెయ్యాలి). ఇప్పుడు పలచగా ఉన్న పూరీ నుండి గుండ్రంగా ఉన్న భూమి మీదకి వద్దాం. భూమి ఉపరితలం కూడ రెండు దిశలలో మాత్రమే వ్యాప్తి చెంది ఉందని మరచిపోకండి - పూరీలా నేలబారుగా కాకుండా ఉబ్బెత్తుగా ఉన్నా, దాని వ్యాప్తి రెండు దిశలలోనే! ఇలా వ్యాప్తి చెందిన భూమి ఉపరితలం మీద ఉన్నంతసేపూ మనకి భూమి గోళాకారం (మూడవ దిశలో చెందిన వ్యాప్తి) అవగాహన కాదు; భూమి ఉపరితలం నుండి పైకి లేచినప్పుడే భూమి గోళాకారం మనకి అవగాహన అవుతుంది.

ఈ కొత్తరకం ఊహలు పరిపూర్ణంగా అర్ధం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులు అవగాహన చేసుకునే అనుభవం ఉండాలి. యూకిలిడ్ లా కాగితం మీద బొమ్మలు గీసి చూపించటానికి వీలు పడదు. ఇది అర్ధం చేసుకోవటం ఎంత కష్టం అనిపించినా ఒక విషయం మాత్రం మరువకూడదు. విశ్వాకారం అవగాహన కావాలంటే శతాబ్దాలపాటు పాతుకుపోయిన యూకిలిడ్ మార్గం సుగమమైనా ప్రయోజనం లేని మార్గం; ఎంత దుర్గమం అయినా రీమాన్ చూపెట్టిన మార్గమే మనకి శరణ్యం. విశ్వం ఆకారాన్ని సాంతం (finite) అయిన, అపరిమిత (unbounded) క్షేత్రం (field) తో ఒక నమూనాని నిర్మిస్తే అది విశ్వం నిజమైన ఆకారానికి దగ్గరలో ఉంటుంది అని రీమాన్ చెబుతారు. బంతి ఆకారం, లేదా గోళాకారం, మనకి అనుభవంలో ఉన్నదీ, మూడు దిశలలో వ్యాపించినదీ, సాంతం అయినదీ, అపరిమితం అయిన స్థలానికి ఉదాహరణ.

రీమాన్ విశ్వాకారాన్ని వర్ణించటానికి ప్రయత్నం చెయ్యలేదు; మూడు కంటె ఎక్కువ దిశలలో వ్యాప్తి చెందిన స్థలాలని గణితపరంగా వర్ణించేడు, అంతే. ఆ నమూనాని అయిన్స్టయిన్ వాడుకుని నాలుగు కొలతల విశ్వాన్ని నిర్మించేడు.

విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉంది అనగానే, యూకిలిడ్ వాడిన బల్లపరుపు క్షేత్రంలా లేదనే కదా! అంటే యూకిలిడ్ సూత్రాలన్నీ ఈ ఒంపు తిరిగిన క్షేత్రం మీద పని చెయ్యవని మనం గ్రహించాలి. ఉదాహరణకి పైథోగరోస్ (భాస్కర) సిద్ధాంతం విశ్వాంతరాళంలో పని చెయ్యదు. ఉదాహరణకి మనం భూమి నుండి 3 జ్యోతిర్వర్షాలు (light years) దూరంలో ఉన్న A అనే క్షీరసాగరం (galaxy) దగ్గరకి వెళ్లి, అక్కడ నుండి కుడి పక్కకి (అంటే 90 డిగ్రీలు అని అన్వయించుకొండి) తిరిగి, 4 జ్యోతిర్వర్షాలు దూరంలో ఉన్న B అనే క్షీరసాగరానికి ప్రయాణం చేసి వెళ్లేం అనుకుందాం. ఇప్పుడు భూమి కీ క్షీరసాగరం B కి మధ్య ఉండే అత్యల్ప దూరం (shortest distance) 5 జ్యోతిర్వర్షాలు ఉంటే, భాస్కర సిద్ధాంతం పని చేసిందనిన్నీ, విశ్వాంతరాళం బల్లపరుపుగా ఉందనిన్నీ మనం తీర్మానించ వచ్చు; అలా కాక పోతే విశ్వాంతరాళం రీమాన్ చెప్పినట్లు ఒంపు తిరిగి ఉందని ఒప్పుకోవాలి.ఈ వక్రత రెండు రకాలు. ఈ దూరం 5 జ్యోతిర్వర్షాలు కంటే తక్కువ ఉంటే ఈ వక్రత ది ధనాకారం (positive curvature) అనిన్నీ, 5 జ్యోతిర్వర్షాలు కంటే ఎక్కువ ఉంటే ఈ అది రుణాకారం (negative curvature) అనిన్నీ అంటారు. యుగాల క్రిందట గ్రీకులు భూమి (యూకిలిడ్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని నిర్ధారించినట్లే, ఈ నాడు విశ్వం (రీమాన్ నిర్వచనం ప్రకారం) గోళాకారంలో ఉందని అంటాం.